贝叶斯推断及其互联网应用（一）
admin 13年前
<div class="asset-body"> <p><a href="/misc/goto?guid=4958187648541899077" target="_blank">一年前</a>的这个时候，我正在翻译Paul Graham的<a href="/misc/goto?guid=4958187649304690128" target="_blank">《黑客与画家》</a>。</p> </div> <div id="more" class="asset-more"> <p>那本书大部分谈的是技术哲学，但是第八章却写了一个非常具体的技术问题----如何使用贝叶斯推断过滤垃圾邮件（<a href="/misc/goto?guid=4958187650047100396" target="_blank">英文版</a>）？</p> <p>说实话，我没完全看懂那一章。那时，交稿截止日期已经过了，没时间留给我去啃概率论教科书了。我只好硬着头皮，按照字面意思把它译了出来。虽然交稿了，译文质量也还可以，但是心里很不舒服，下决心一定要搞懂它。</p> <p>一年过去了，我读了一些概率论文献，逐渐发现贝叶斯推断并没有想象的那么难。相反的，它的原理部分实际上很容易理解，甚至不需要用到高等数学。</p> <p>下面就是我的学习笔记。需要声明的是，我并不是这方面的专家，数学其实是我的弱项。所以，欢迎大家提出宝贵意见，让我们共同学习和提高。</p> <p>=====================================</p> <p><strong>贝叶斯推断及其互联网应用</strong></p> <p>作者：阮一峰</p> <p><img src="http://image.beekka.com/blog/201108/bg2011082507.jpg" /></p> <p><strong>一、什么是贝叶斯推断</strong></p> <p>贝叶斯推断（<a href="/misc/goto?guid=4958187650784861040" target="_blank">Bayesian inference</a>）是一种统计学方法，用来估计统计量的某种性质。</p> <p>它是贝叶斯定理（<a href="/misc/goto?guid=4958187651511906645" target="_blank">Bayes' theorem</a>）的应用。英国数学家托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在1763年发表的一篇论文中，首先提出了这个定理。</p> <p><img src="http://image.beekka.com/blog/201108/bg2011082501.jpg" /></p> <p>贝叶斯推断与其他统计学推断方法截然不同。它建立在主观判断的基础上，也就是说，你可以不需要客观证据，先估计一个值，然后根据推断结果不断修正。正是因为它的主观性太强，曾经遭到许多统计学家的诟病。</p> <p>贝叶斯推断需要大量的计算，因此历史上很长一段时间，无法得到广泛应用。只有等到计算机诞生以后，它才获得真正的重视。人们发现，许多统计量是无法事先进行客观判断的，而互联网时代出现的大型数据集，再加上高速运算能力，为验证这些统计量提供了方便，也为应用贝叶斯推断创造了条件，它的威力正在日益显现。</p> <p><strong>二、贝叶斯定理</strong></p> <p>要理解贝叶斯推断，就必须先理解贝叶斯定理。后者实际上就是计算"条件概率"的公式。</p> <p>所谓"条件概率"（Conditional probability），就是指在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，用P(A|B)来表示。</p> <p><img src="http://image.beekka.com/blog/201108/bg2011082502.jpg" /></p> <p>根据文氏图，可以很清楚地看到在事件B发生的情况下，事件A发生的概率就是P(A∩B)除以P(B)。</p> <p><img style="border-bottom:medium none;border-left:medium none;border-top:medium none;border-right:medium none;" src="http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=P(A%7CB)%3D%5Cfrac%7BP(A%5Ccap%20B)%7D%7BP(B)%7D&chs=70" /></p> <p>因此，</p> <p><img style="border-bottom:medium none;border-left:medium none;border-top:medium none;border-right:medium none;" src="http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=P(A%5Ccap%20B)%3DP(A%7CB)%7BP(B)%7D&chs=40" /></p> <p>同理可得，</p> <p><img style="border-bottom:medium none;border-left:medium none;border-top:medium none;border-right:medium none;" src="http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=P(A%5Ccap%20B)%3DP(B%7CA)%7BP(A)%7D&chs=40" /></p> <p>所以，</p> <p><img style="border-bottom:medium none;border-left:medium none;border-top:medium none;border-right:medium none;" src="http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=P(A%7CB)%7BP(B)%7D%3DP(B%7CA)%7BP(A)%7D&chs=40" /></p> <p>即</p> <p><img style="border-bottom:medium none;border-left:medium none;border-top:medium none;border-right:medium none;" src="http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=P(A%7CB)%3D%5Cfrac%7BP(B%7CA)%7BP(A)%7D%7D%7B%7BP(B)%7D%7D&chs=70" /></p> <p>这就是条件概率的计算公式。</p> <p><strong>三、全概率公式</strong></p> <p>由于后面要用到，所以除了条件概率以外，这里还要推导全概率公式。</p> <p>假定样本空间S，是两个事件A与A'的和。</p> <p><img src="http://image.beekka.com/blog/201108/bg2011082503.jpg" /></p> <p>上图中，红色部分是事件A，绿色部分是事件A'，它们共同构成了样本空间S。</p> <p>在这种情况下，事件B可以划分成两个部分。</p> <p><img src="http://image.beekka.com/blog/201108/bg2011082504.jpg" /></p> <p>即</p> <p><img style="border-bottom:medium none;border-left:medium none;border-top:medium none;border-right:medium none;" src="http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=P(B)%3DP(B%5Ccap%20A)%2BP(B%5Ccap%20A')&chs=40" /></p> <p>在上一节的推导当中，我们已知</p> <p><img style="border-bottom:medium none;border-left:medium none;border-top:medium none;border-right:medium none;" src="http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=P(B%5Ccap%20A)%3DP(B%7CA)P(A)&chs=40" /></p> <p>所以，</p> <p><img style="border-bottom:medium none;border-left:medium none;border-top:medium none;border-right:medium none;" src="http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=P(B)%3DP(B%7CA)P(A)%2BP(B%7CA')P(A')&chs=40" /></p> <p>这就是全概率公式。它的含义是，如果A和A'构成样本空间的一个划分，那么事件B的概率，就等于A和A'的概率分别乘以B的条件概率之和。</p> <p>将这个公式代入上一节的条件概率公式，就得到了条件概率的另一种写法：</p> <p><img style="border-bottom:medium none;border-left:medium none;border-top:medium none;border-right:medium none;" src="http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=P(A%7CB)%3D%5Cfrac%7BP(B%7CA)P(A)%7D%7BP(B%7CA)P(A)%2BP(B%7CA')P(A')%7D&chs=70" /></p> <p><strong>四、贝叶斯推断的含义</strong></p> <p>对条件概率公式进行变形，可以得到如下形式：</p> <p><img style="border-bottom:medium none;border-left:medium none;border-top:medium none;border-right:medium none;" src="http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=P(A%7CB)%3DP(A)%5Cfrac%7BP(B%7CA)%7D%7BP(B)%7D&chs=70" /></p> <p>我们把P(A)称为"先验概率"（Prior probability），即在B事件发生之前，我们对A事件概率的一个判断。P(A|B)称为"后验概率"（Posterior probability），即在B事件发生之后，我们对A事件概率的重新评估。P(B|A)/P(B)称为"可能性函数"（Likelyhood），这是一个调整因子，使得预估概率更接近真实概率。</p> <p>所以，条件概率可以理解成下面的式子：</p> <p><img style="border-bottom:medium none;border-left:medium none;border-top:medium none;border-right:medium none;" class="tex" alt="\mbox{Posterior probability} \propto \mbox{Prior probability} \times \mbox{Likelihood}" src="https://simg.open-open.com/show/793bf20b93943731cdd84c352773ed12.png" /></p> <p>这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估一个"先验概率"，然后加入实验结果，看这个实验到底是增强还是削弱了"先验概率"，由此得到更接近事实的"后验概率"。</p> <p>在这里，如果"可能性函数"P(B|A)/P(B)>1，意味着"先验概率"被增强，事件A的发生的可能性变大；如果"可能性函数"=1，意味着B事件无助于判断事件A的可能性；如果"可能性函数"<1，意味着"先验概率"被削弱，事件A的可能性变小。</p> <p><strong>五、【例子】水果糖问题</strong></p> <p>为了加深对贝叶斯推断的理解，我们看两个例子。</p> <p><img src="http://image.beekka.com/blog/201108/bg2011082505.jpg" /></p> <p>第一个例子。两个一模一样的碗，一号碗有30颗水果糖和10颗巧克力糖，二号碗有水果糖和巧克力糖各20颗。现在随机选择一个碗，从中摸出一颗糖，发现是水果糖。请问这颗水果糖来自一号碗的概率有多大？</p> <p>我们假定，H1表示一号碗，H2表示二号碗。由于这两个碗是一样的，所以P(H1)=P(H2)，也就是说，在取出水果糖之前，这两个碗被选中的概率相同。因此，P(H1)=0.5，我们把这个概率就叫做"先验概率"，即没有做实验之前，来自一号碗的概率是0.5。</p> <p>再假定，E表示水果糖，所以问题就变成了在已知E的情况下，来自一号碗的概率有多大，即求P(H1|E)。我们把这个概率叫做"后验概率"，即在E事件发生之后，对P(H1)的修正。</p> <p>根据条件概率公式，得到</p> <p><img style="border-bottom:medium none;border-left:medium none;border-top:medium none;border-right:medium none;" src="http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=P(H_%7B1%7D%7CE)%3DP(H_%7B1%7D)%5Cfrac%7BP(E%7CH_%7B1%7D)%7D%7BP(E)%7D&chs=70" /></p> <p>已知，P(H1)等于0.5，P(E|H1)为一号碗中取出水果糖的概率，等于0.75，那么求出P(E)就可以得到答案。根据全概率公式，</p> <p><img style="border-bottom:medium none;border-left:medium none;border-top:medium none;border-right:medium none;" src="http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=P(E)%3DP(E%7CH_%7B1%7D)P(H_%7B1%7D)%2BP(E%7CH_%7B2%7D)P(H_%7B2%7D)&chs=40" /></p> <p>所以，</p> <p><img style="border-bottom:medium none;border-left:medium none;border-top:medium none;border-right:medium none;" src="http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=P(E)%3D0.75%5Ctimes%200.5%2B0.5%5Ctimes%200.5%3D0.625&chs=40" /></p> <p>将数字代入原方程，得到</p> <p><img style="border-bottom:medium none;border-left:medium none;border-top:medium none;border-right:medium none;" src="http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=P(H1%7CE)%3D0.5%5Ctimes%20%5Cfrac%7B0.75%7D%7B0.625%7D%3D0.6&chs=70" /></p> <p>这表明，来自一号碗的概率是0.6。也就是说，取出水果糖之后，H1事件的可能性得到了增强。</p> <p><strong>六、【例子】假阳性问题</strong></p> <p>第二个例子是一个医学的常见问题，与现实生活关系紧密。</p> <p><img src="http://image.beekka.com/blog/201108/bg2011082506.jpg" /></p> <p>已知某种疾病的发病率是0.001，即1000人中会有1个人得病。现有一种试剂可以检验患者是否得病，它的准确率是0.99，即在患者确实得病的情况下，它有99%的可能呈现阳性。它的误报率是5%，即在患者没有得病的情况下，它有5%的可能呈现阳性。现有一个病人的检验结果为阳性，请问他确实得病的可能性有多大？</p> <p>假定A事件表示得病，那么P(A)为0.001。这就是"先验概率"，即没有做试验之前，我们预计的发病率。再假定B事件表示阳性，那么要计算的就是P(A|B)。这就是"后验概率"，即做了试验以后，对发病率的估计。</p> <p>根据条件概率公式，</p> <p><img style="border-bottom:medium none;border-left:medium none;border-top:medium none;border-right:medium none;" src="http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=P(A%7CB)%3DP(A)%20%5Cfrac%7BP(B%7CA)%7D%7BP(B)%7D&chs=70" /></p> <p>用全概率公式改写分母，</p> <p><img style="border-bottom:medium none;border-left:medium none;border-top:medium none;border-right:medium none;" src="http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=P(A%7CB)%3DP(A)%20%5Cfrac%7BP(B%7CA)%7D%7BP(B%7CA)P(A)%2BP(B%7C%5Cbar%7BA%7D)P(%5Cbar%7BA%7D)%7D&chs=70" /></p> <p>将数字代入，</p> <p><img style="border-bottom:medium none;border-left:medium none;border-top:medium none;border-right:medium none;" src="http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=P(A%7CB)%3D0.001%5Ctimes%20%20%5Cfrac%7B0.99%7D%7B0.99%5Ctimes%200.001%2B0.05%5Ctimes%200.999%7D%5Capprox%200.019&chs=70" /></p> <p>我们得到了一个惊人的结果，P(A|B)约等于0.019。也就是说，即使检验呈现阳性，病人得病的概率，也只是从0.1%增加到了2%左右。这就是所谓的"假阳性"，即阳性结果完全不足以说明病人得病。</p> <p>为什么会这样？为什么这种检验的准确率高达99%，但是可信度却不到2%？答案是与它的误报率太高有关。（【习题】如果误报率从5%降为1%，请问病人得病的概率会变成多少？）</p> <p>有兴趣的朋友，还可以算一下"假阴性"问题，即检验结果为阴性，但是病人确实得病的概率有多大。然后问自己，"假阳性"和"假阴性"，哪一个才是医学检验的主要风险？</p> <p>===================================</p> <p>关于贝叶斯推断的原理部分，今天就讲到这里。下一次，将介绍如何使用贝叶斯推断过滤垃圾邮件。<br /> <br /> 原文网址：<a href="/misc/goto?guid=4958187652253784775">http://www.ruanyifeng.com/blog/2011/08/bayesian_inference_part_one.html</a></p> </div> <div class="asset-more"> <p><br /> </p> </div>