朴素贝叶斯分类器的应用
生活中很多场合需要用到分类，比如新闻分类、病人分类等等。
本文介绍朴素贝叶斯分类器（Naive Bayes classifier），它是一种简单有效的常用分类算法。
一、病人分类的例子
让我从一个例子开始讲起，你会看到贝叶斯分类器很好懂，一点都不难。
某个医院早上收了六个门诊病人，如下表。
症状职业疾病
打喷嚏护士感冒
打喷嚏农夫过敏
头痛建筑工人脑震荡
头痛建筑工人感冒
打喷嚏教师感冒
头痛教师脑震荡
现在又来了第七个病人，是一个打喷嚏的建筑工人。请问他患上感冒的概率有多大？
根据贝叶斯定理：
P(AB) = P (BA) P (A) / P (B)
可得
P(感冒打喷嚏x建筑工人)
= P (打喷嚏x建筑工人感冒) x P (感冒)
/ P (打喷嚏x建筑工人)
假定"打喷嚏"和"建筑工人"这两个特征是独立的，因此，上面的等式就变成了
P(感冒打喷嚏x建筑工人)
= P (打喷嚏感冒) x P (建筑工人感冒) x P (感冒)
/ P (打喷嚏) x P (建筑工人)
这是可以计算的。
P(感冒打喷嚏x建筑工人)
= 0.66 x 0.33 x 0.5 / 0.5 x 0.33
= 0.66
因此，这个打喷嚏的建筑工人，有 66% 的概率是得了感冒。同理，可以计算这个病人患上过敏或脑震荡的概率。比较这几个概率，就可以知道他最可能得什么病。
这就是贝叶斯分类器的基本方法：在统计资料的基础上，依据某些特征，计算各个类别的概率，从而实现分类。
二、朴素贝叶斯分类器的公式
假设某个体有n项特征（Feature），分别为F1、F2、...、Fn。现有m个类别（Category），分别为C1、C2、...、Cm。贝叶斯分类器就是计算出概率最大的那个分类，也就是求下面这个算式的最大值：
P(CF1F2...Fn)
= P (F1F2...FnC)P(C) / P (F1F2...Fn)
由于 P (F1F2...Fn) 对于所有的类别都是相同的，可以省略，问题就变成了求
P(F1F2...FnC)P(C)
的最大值。
朴素贝叶斯分类器则是更进一步，假设所有特征都彼此独立，因此
P(F1F2...FnC)P(C)
= P (F1C)P(F2C) ... P (FnC)P(C)
上式等号右边的每一项，都可以从统计资料中得到，由此就可以计算出每个类别对应的概率，从而找出最大概率的那个类。
虽然"所有特征彼此独立"这个假设，在现实中不太可能成立，但是它可以大大简化计算，而且有研究表明对分类结果的准确性影响不大。
下面再通过两个例子，来看如何使用朴素贝叶斯分类器。
三、账号分类的例子
本例摘自张洋的《算法杂货铺----分类算法之朴素贝叶斯分类》。
根据某社区网站的抽样统计，该站 10000 个账号中有 89% 为真实账号（设为C），11% 为虚假账号（设为C1）。
C0 = 0.89
C1 = 0.11
接下来，就要用统计资料判断一个账号的真实性。假定某一个账号有以下三个特征：
F1: 日志数量/注册天数
F2: 好友数量/注册天数
F3: 是否使用真实头像（真实头像为1，非真实头像为0）
F1 = 0.1
F2 = 0.2
F3 = 0
请问该账号是真实账号还是虚假账号？
方法是使用朴素贝叶斯分类器，计算下面这个计算式的值。
P(F1C)P(F2C)P(F3C)P(C)
虽然上面这些值可以从统计资料得到，但是这里有一个问题：F1 和 F2 是连续变量，不适宜按照某个特定值计算概率。
一个技巧是将连续值变为离散值，计算区间的概率。比如将 F1 分解成[0, 0.05]、(0.05, 0.2)、[0.2, +∞]三个区间，然后计算每个区间的概率。在我们这个例子中，F1 等于 0.1，落在第二个区间，所以计算的时候，就使用第二个区间的发生概率。
根据统计资料，可得：
P(F1C0) = 0.5, P (F1C1) = 0.1
P(F2C0) = 0.7, P (F2C1) = 0.2
P(F3C0) = 0.2, P (F3C1) = 0.9
因此，
P(F1C0) P (F2C0) P (F3C0) P (C0)
= 0.5 x 0.7 x 0.2 x 0.89
= 0.0623
P(F1C1) P (F2C1) P (F3C1) P (C1)
= 0.1 x 0.2 x 0.9 x 0.11
= 0.00198
可以看到，虽然这个用户没有使用真实头像，但是他是真实账号的概率，比虚假账号高出 30 多倍，因此判断这个账号为真。
四、性别分类的例子
本例摘自维基百科，关于处理连续变量的另一种方法。
下面是一组人类身体特征的统计资料。
性别身高（英尺）体重（磅）脚掌（英寸）
男 6 18012
男 5.9219011
男 5.5817012
男 5.9216510
女 5 1006
女 5.5 1508
女 5.421307
女 5.751509
已知某人身高 6 英尺、体重 130 磅，脚掌 8 英寸，请问该人是男是女？
根据朴素贝叶斯分类器，计算下面这个式子的值。
P(身高性别) x P (体重性别) x P (脚掌性别) x P (性别)
这里的困难在于，由于身高、体重、脚掌都是连续变量，不能采用离散变量的方法计算概率。而且由于样本太少，所以也无法分成区间计算。怎么办？
这时，可以假设男性和女性的身高、体重、脚掌都是正态分布，通过样本计算出均值和方差，也就是得到正态分布的密度函数。有了密度函数，就可以把值代入，算出某一点的密度函数的值。
比如，男性的身高是均值 5.855、方差 0.035 的正态分布。所以，男性的身高为 6 英尺的概率等于 1.5789（大于 1 并没有关系，因为这里是密度函数的值）。
有了这些数据以后，就可以计算性别的分类了。
P(身高=6 男) x P (体重=130 男) x P (脚掌=8 男) x P (男)
= 6.1984 x e-9
P(身高=6 女) x P (体重=130 女) x P (脚掌=8 女) x P (女)
= 5.3778 x e-4
可以看到，女性的概率比男性要高出将近 10000 倍，所以判断该人为女性。