最短路径算法
单源最短路径问题
问题描述：给你一个顶点做源点，你想要知道，如何从源点到达其他所有点的最短路径。
OK，这个问题看起来没什么用。我们一般想知道的是A点到B点的最短路径，这个单源最短路径问题告诉我们A点到所有点的最短路径，会不会计算过多了呢？
有趣的是，解决A点到B点的最短路径算法不会比单源最短路径问题简单，我们所知的求A点到B点的最短路径算法就是求A点到任何点的最短路径。我们除了这样做，好像也没什么好办法了。
Dijkstra算法
基本原理：
每次新扩展一个距离最短的点，更新与其相邻的点的距离。当所有边权都为正时，由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点，所以这个点的距离永远不会再被改变，因而保证了算法的正确性。不过根据这个原理，用Dijkstra求最短路的图不能有负权边，因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离，有可能就破坏了已经更新的点距离不会改变的性质。
适用条件与限制：
- 有向图和无向图都可以使用本算法，无向图中的每条边可以看成相反的两条边。
- 用来求最短路的图中不能存在负权边。(可以利用拓扑排序检测)
算法流程：
在以下说明中，s为源，w[u,v]为点u和v之间的边的长度，结果保存在dist[]
- 初始化：源的距离dist[s]设为0，其他的点距离设为正无穷大，同时把所有的点的状态设为没有扩展过。
- 循环n-1次：
- 在没有扩展过的点中取距离最小的点u，并将其状态设为已扩展。
- 对于每个与u相邻（有向图只kao虑出度）的点v，执行Relax(u,v)，也就是说，如果dist[u]+w[u,v]<dist[v]，那么把dist[v]更新成更短的距离dist[u]+w[u,v]。此时到点v的最短路径上，前一个节点即为u。
- 结束。此时对于任意的u，dist[u]就是s到u的距离。 </ol>
- 第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
- 第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
- 第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：d（v） > d (u) + w(u,v)。则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
- 初始化阶段除了和Bellman-ford算法相同的地方外，还要加上将源点S入队，并且在判断点是否在队列中的数组上做标记（inside[1] = 1）
- 进行迭代，每次迭代，取出队头的点v，遍历所有与v相连的边，进行松弛操作，如果能够松弛并且该点不在队列中，就将它放入队尾。这样一直迭代下去直到队列变空。
- 若一个点入队次数超过n，则有负权环。
- 初始化：从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，或者无穷大，如果两点之间没有边相连。
- 松弛：对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。
- 初始化
- 松弛
- 判断是否有负值环
- Dijkstra：由源点出发，松弛每条边。然后选出其中最小的边，将其作为中间点，松弛其他未访问的边，如此循环n-1次。
- Bellman-Ford：遍历所有边，查看两个端点能否通过这条边进行松弛。
- SPFA：用队列来优化Bellman-Ford，从队列中取出某个点，查看经过这个点能否使边松弛，如果能够松弛并且没有在队列中，将另一个点加入队列中。
- Floyd：遍历所有的顶点，看看这个顶点是否能让任意两个顶点松弛。
执行动画过程如下图:
实例：
用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下
代码：
我们在OJ上完成这个算法：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1874
import java.io.BufferedReader; import java.io.IOException; import java.io.InputStreamReader; import java.io.StreamTokenizer; public class Main { static int[][] v = new int[201][201]; static int[] dist = new int[201]; static boolean[] visit = new boolean[201]; public static void main(String[] args) throws IOException { StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader( new InputStreamReader(System.in))); int n, m, begin, end; while (in.nextToken() != StreamTokenizer.TT_EOF) { n = (int) in.nval; in.nextToken(); m = (int) in.nval; init(n); for (int i = 0; i < m; i++) { in.nextToken(); int a = (int) in.nval; in.nextToken(); int b = (int) in.nval; in.nextToken(); int d = (int) in.nval; if (d < v[a][b]) { v[a][b] = d; v[b][a] = d; } } in.nextToken(); begin = (int) in.nval; in.nextToken(); end = (int) in.nval; if (begin == end) { System.out.println("0"); continue; } dist[begin] = 0; visit[begin] = true; dijkstra(begin, n); if (!visit[end]) { System.out.println("-1"); } else { System.out.println(dist[end]); } } } public static void init(int n) { for (int i = 0; i < n; i++) { visit[i] = false; for (int j = 0; j < n; j++) { v[i][j] = 10000; } } } public static void dijkstra(int s, int n) { for (int i = 0; i < n; i++) { dist[i] = v[s][i]; } for (int i = 0; i < n - 1; i++) { int min = 10000; int index = 0; for (int j = 0; j < n; j++) { if (!visit[j] && dist[j] < min) { min = dist[j]; index = j; } } visit[index] = true; for (int j = 0; j < n; j++) { if (!visit[j] && dist[index] + v[index][j] < dist[j]) { dist[j] = dist[index] + v[index][j]; } } } } } 可以看出时间复杂度为 O（v^2）。有没有更快的方法呢？ 由于每次都要找到未访问的点中距离最小的点，我们使用优先队列来解决这个问题，关于优先队列请查看这篇Blog。以下是利用优先队列实现的算法
public static void dijkstrapq(int s, int n) { class Item implements Comparable<Item> { public int idx; public int weight; public Item(int idx, int weight) { this.idx = idx; this.weight = weight; } @Override public int compareTo(Item item) { if (this.weight == item.weight) { return 0; } else if (this.weight < item.weight) { return -1; } else { return 1; } } } PriorityQueue<Item> pq = new PriorityQueue<Item>(); for (int i = 0; i < n; i++) { dist[i] = v[s][i]; if (i != s) { pq.offer(new Item(i, dist[i])); } } Item itm = null; while (!pq.isEmpty()) { itm = pq.poll(); int index = itm.idx; int weight = itm.weight; if (weight == 10000) { break; } visit[index] = true; for (int j = 0; j < n; j++) { if (!visit[j] && dist[index] + v[index][j] < dist[j]) { dist[j] = dist[index] + v[index][j]; pq.offer(new Item(j, dist[j])); } } } } 如果是稠密图（边比点多），则直接扫描所有未收录顶点比较好，即第一种方法，每次O(V)，总体算法复杂度T=O(V^2+E) 如果是稀疏图(边比点少)，则使用优先队列（最小堆）比较好，即第二种方法，每次O(logV)，插入更新后的dist，O(logV)。总体算法复杂度T=O(VlogV+ElogE)
当然还有更加优秀的斐波那契堆，时间复杂度为 O(e+vlogv)
无权值（或者权值相等）的单源点最短路径问题，Dijkstra算法退化成BFS广度优先搜索。
那么，为什么BFS会比Dijkstra在这类问题上表现得更加好呢？
1. BFS使用FIFO的队列来代替Dijkstra中的优先队列(或者heap之类的)。
2. BFS不需要在每次选取最小结点时判断其他结点是否有更优的路径。
BFS的时间复杂度为O(v+e)
Bellman-Ford算法
Dijkstra很优秀，但是使用Dijkstra有一个最大的限制，就是不能有负权边。而Bellman-Ford适用于权值可以为负、无权值为负的回路的图。这比Dijkstra算法的使用范围要广。其基本思想为：首先假设源点到所有点的距离为无穷大，然后从任一顶点u出发，遍历其它所有顶点vi，计算从源点到其它顶点vi的距离与从vi到u的距离的和，如果比原来距离小，则更新，遍历完所有的顶点为止，即可求得源点到所有顶点的最短距离。
Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
对有向带权图G = (V, E)，从顶点s起始，利用Bellman-Ford算法求解各顶点最短距离，算法描述如下：
for(int k=1;k<=n-1;k++)//遍历点的次数 { for(int i=1;i<=m;i++)//遍历边的次数 { if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i])//如果从u到v的距离能够通过w这条边压缩路径 就要进行松弛操作 { dis[v[i]]=dis[u[i]]+w[i]; } } } 很明显Bellman-Ford算法复杂度为O(VE)，比Dijkstra要慢，但是解决了负权值问题。
图解：
当然不用总是松弛E次，可能远小于E次时，所有边都不能松弛了。所以加个check来优化，如果每个边都没松弛，就break。
for(int k=1;k<=n-1;k++) { check=0;//用check检查是否进行下一轮次的操作 for(int i=1;i<=m;i++) { if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i]) { dis[v[i]]=dis[u[i]]+w[i]; check=1; } } if(check==0)break; } 我们一直说的是有向图的松弛，如果是无向图则要松弛两次（因为A到B有边，那么B到A也有边）
for(int k=1;k<=n-1;k++) { check=0; for(int i=1;i<=m;i++) { if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i]) { dis[v[i]]=dis[u[i]]+w[i]; check=1; } if(dis[u[i]]>dis[v[i]]+w[i]) { dis[u[i]]=dis[v[i]]+w[i]; check=1; } } if(check==0)break; } 代码：
我们在OJ上验证这个算法：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2544
import java.io.BufferedReader; import java.io.IOException; import java.io.InputStreamReader; import java.io.StreamTokenizer; public class Main { static int[] begin = new int[121212]; static int[] end = new int[121212]; static int[] wight = new int[121212]; static int[] dist = new int[121212]; public static void main(String[] args) throws IOException { StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader( new InputStreamReader(System.in))); int n, m; while (in.nextToken() != StreamTokenizer.TT_EOF) { n = (int) in.nval; in.nextToken(); m = (int) in.nval; init(n); if (n == 0 || m == 0) { break; } for (int i = 1; i <= m; i++) { in.nextToken(); int a = (int) in.nval; in.nextToken(); int b = (int) in.nval; in.nextToken(); int d = (int) in.nval; begin[i] = a; end[i] = b; wight[i] = d; if (a == 1) { dist[b] = d; } if (b == 1) { dist[a] = d; } } bellmanFord(n, m); System.out.println(dist[n]); } } private static boolean bellmanFord(int n, int m) { dist[1] = 0; int check; for (int i = 1; i <= n - 1; i++) { check = 0; for (int j = 1; j <= m; j++) { int b = begin[j]; int e = end[j]; if (dist[b] + wight[j] < dist[e]) { check = 1; dist[e] = wight[j] + dist[b]; } if (dist[e] + wight[j] < dist[b]) { check = 1; dist[b] = wight[j] + dist[e]; } } if (check == 0) { break; } } return true; } public static void init(int n) { for (int i = 1; i <= n; i++) { dist[i] = 9999999; } } } OJ上的这个题目没有负值环，Bellman-Ford是可以检查负值环的，就如上面所说，最后再遍历一遍边，如果还能松弛，说明有负值环。 for (int j = 1; j <= m; j++) { int b = begin[j]; int e = end[j]; if (dist[b] + wight[j] < dist[e]) { return false; } if (dist[e] + wight[j] < dist[b]) { return false; } } SPFA算法
SPFA算法维护一个队列，里面存放所有需要进行迭代的点。初始时队列中只有一个点S。用一个布尔数组记录每个点是否处在队列中。
SPFA算法可以分为大致3步
SPFA 在形式上和宽度优先搜索非常类似，不同的是宽度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。
代码：
我们在OJ上验证这个算法：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2544
import java.io.BufferedReader; import java.io.IOException; import java.io.InputStreamReader; import java.io.StreamTokenizer; import java.util.LinkedList; import java.util.Queue; public class Main { static int[][] v = new int[101][101]; static int[] dist = new int[101]; static int[] inside = new int[101]; static Queue<Integer> queue; public static void main(String[] args) throws IOException { StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader( new InputStreamReader(System.in))); int n, m; while (in.nextToken() != StreamTokenizer.TT_EOF) { n = (int) in.nval; in.nextToken(); m = (int) in.nval; init(n); if (n == 0 || m == 0) { break; } for (int i = 1; i <= m; i++) { in.nextToken(); int a = (int) in.nval; in.nextToken(); int b = (int) in.nval; in.nextToken(); int d = (int) in.nval; v[a][b] = d; v[b][a] = d; } SPFA(n); System.out.println(dist[n]); } } private static void SPFA(int n) { queue.add(1); inside[1] = 1; dist[1] = 0; while (!queue.isEmpty()) { int top = queue.poll(); inside[top] = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { if (v[top][i] < 9999999) { if (dist[top] + v[top][i] < dist[i]) { dist[i] = dist[top] + v[top][i]; if (inside[i] == 0) { queue.add(i); inside[i] = 1; } } } } } } public static void init(int n) { for (int i = 1; i <= n; i++) { dist[i] = 9999999; inside[i] = 0; for (int j = 1; j <= n; j++) { v[i][j] = 9999999; } } queue = new LinkedList<Integer>(); } } 由于上述代码使用邻接矩阵来存储，所以在遍历与某点相连的边时，复杂度较高。如果将其改成邻接表来实现会更加明显。 在平均情况下，SPFA算法的期望时间复杂度为O(E)。但是这一说法有争议，在这里就不讨论了，总之SPFA是一种Bellman-Ford算法的优化。
多源最短路径问题
我们已经介绍了3种解决单源最短路径问题的算法，那么多源最短路径问题该怎么解决呢？
很明显有一种方法就是，将单源最短路径问题使用N次，那么使用普通的Dijkstra算法的时间复杂度为T=O(V^3+V*E)，对于稀疏图的效果比较好。
而第二种方法则是要介绍的Floyd算法，它的时间复杂度为T=O(V^3)，对于稠密图来说效果更好。
Floyd算法
对于最短路径算法来说，其重点都是松弛。由于现在是多源最短路径问题，以前单源把dist[i]作为源点S到i的最短路径，现在源点不单一了，所以直接表示成e(i,j)表示i到j的最短路径。
我们已经知道松弛的原因是，有了第三个点为过渡点，使得距离变小了。
Floyd算法运用动态规划的思想通过考虑最佳子路径来得到最佳路径
而Floyd算法的步骤就分为以下两步
思想非常简单，简单来说就是遍历所有的顶点，看看这个顶点是否能让任意两个顶点松弛。
核心代码：
for (int k = 1; k <= n; k++) { for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { if (v[i][k] + v[k][j] < v[i][j]) { v[i][j] = v[i][k] + v[k][j]; } } } } 代码：
我们在OJ上验证这个算法：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2544
import java.io.BufferedReader; import java.io.IOException; import java.io.InputStreamReader; import java.io.StreamTokenizer; public class Main { static int[][] v = new int[101][101]; public static void main(String[] args) throws IOException { StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader( new InputStreamReader(System.in))); int n, m; while (in.nextToken() != StreamTokenizer.TT_EOF) { n = (int) in.nval; in.nextToken(); m = (int) in.nval; init(n); if (n == 0 || m == 0) { break; } for (int i = 1; i <= m; i++) { in.nextToken(); int a = (int) in.nval; in.nextToken(); int b = (int) in.nval; in.nextToken(); int d = (int) in.nval; v[a][b] = d; v[b][a] = d; } floyd(n); System.out.println(v[1][n]); } } private static void floyd(int n) { for (int k = 1; k <= n; k++) { for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { if (v[i][k] + v[k][j] < v[i][j]) { v[i][j] = v[i][k] + v[k][j]; } } } } } public static void init(int n) { for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { v[i][j] = 9999999; } } } } 算法时间复杂度很直观O(V^3)，因为要用邻接矩阵来存储图，空间复杂度O(V^2)。 另外需要注意的是：Floyd算法也不能解决带有“负权回路”
总结：
通过以上4种最短路径算法，我们发现，最短路径算法大概分为3步
其中Bellman-Ford（松弛以后如果还能松弛则有负值环）与SPFA（每个元素的入队次数不能超过n）能检测负值环。
我们简单的说一下4种算法的松弛过程：
时间复杂度：
Dijkstra：普通：O(V^2+E)，最小堆优化：O(VlogV+ElogE)，斐波那契堆优化：O(E+VlogV)
Bellman-Ford：O(VE)
SPFA：O(kE)，有争论，总之比Bellman-Ford更加快
Floyd：O(V^3)
Reference：
1. http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html
2. http://www.nocow.cn/index.php/Dijkstra%E7%AE%97%E6%B3%95
3. http://blog.csdn.net/collonn/article/details/18155655
4. http://blog.csdn.net/mengxiang000000/article/details/50266373