算法：深度优先算法和广度优先算法
lmuy5797
8年前
<h2>1.写在前面</h2> <p>图的存储结构有两种：一种是基于二维数组的邻接矩阵表示法。</p> <p>另一种是基于链表的的邻接表。</p> <p>在邻接矩阵中，可以如下表示顶点和边连接关系：</p> <p><img src="https://simg.open-open.com/show/7407186de745f2fe5a406a3a8c66f9e8.png"> <img src="https://simg.open-open.com/show/09288e37de149579b588ee0e24c6c865.png"></p> <p>说明：</p> <p>将顶点对应为下标，根据横纵坐标将矩阵中的某一位置值设为1，表示两个顶点向联接。</p> <p>图示表示的是 <strong> 无向图的邻接矩阵 </strong> ，从中我们可以发现它们的 <strong> 分布关于斜对角线对称 </strong> 。</p> <p>我们在下面将要讨论的是下图的两种遍历方法（基于矩阵的）：</p> <p><img src="https://simg.open-open.com/show/25479ad37123d052c6fd6fb0a0706e13.png"> <img src="https://simg.open-open.com/show/4d2fa9601a8c74f692a3ac27c89ecdbe.png"></p> <p>我们已经说明了我们要用到的是邻接矩阵表示法，那么我首先要来构造图：</p> <p>矩阵图的数据结构如下表示：</p> <pre> <code class="language-java">#define MaxVnum 50 typedef double AdjMatrix[MaxVnum][MaxVnum]; //表示一个矩阵，用来存储顶点和边连接关系 typedef struct { int vexnum,arcnum; //顶点的个数，边的个数 AdjMatrix arcs; //图的邻接矩阵 }Graph; </code></pre> <p>这样我们可以首先来创建上述图，为了方便，我们直接在代码中书写矩阵，而不用每次调试手动输入了</p> <pre> <code class="language-java">void CreateGraph(Graph &G) { G.vexnum=8; G.arcnum=9; G.arcs[0][1]=1; G.arcs[0][2]=1; G.arcs[1][3]=1; G.arcs[1][4]=1; G.arcs[2][5]=1; G.arcs[2][6]=1; G.arcs[3][1]=1; G.arcs[3][7]=1; G.arcs[3][6]=1; G.arcs[4][1]=1; G.arcs[4][7]=1; G.arcs[5][2]=1; G.arcs[5][6]=1; G.arcs[5][5]=1; G.arcs[6][2]=1; G.arcs[6][5]=1; G.arcs[7][3]=1; G.arcs[7][4]=1; } </code></pre> <p>这样我们就已经完成了准备工作，我们可以正式来学习我们的两种遍历方式了。</p> <h2>2.深度优先遍历算法</h2> <h3>分析深度优先遍历</h3> <p>从图的某个顶点出发， <strong> 访问图中的所有顶点 </strong> ， <strong> 且使每个顶点仅被访问一次 </strong> 。这一过程叫做图的遍历。</p> <p>深度优先搜索的思想：</p> <p>①访问顶点v；</p> <p>②依次从v的未被访问的邻接点出发，对图进行深度优先遍历；直至图中和v有路径相通的顶点都被访问；</p> <p>③若此时图中尚有顶点未被访问，则从一个未被访问的顶点出发，重新进行深度优先遍历，直到图中所有顶点均被访问过为止。</p> <p>比如：</p> <p><img src="https://simg.open-open.com/show/2d5bf2405eefd99957368d9864dc6677.png"></p> <p>在这里为了区分已经访问过的节点和没有访问过的节点，我们引入一个一维数组 bool visited[MaxVnum] 用来表示与下标对应的顶点是否被访问过，</p> <p>流程：</p> <p>☐ 首先输出 V1，标记V1的flag=true;</p> <p>☐ 获得V1的邻接边 [V2 V3],取出V2，标记V2的flag=true;</p> <p>☐ 获得V2的邻接边[V1 V4 V5],过滤掉已经flag的，取出V4，标记V4的flag=true;</p> <p>☐ 获得V4的邻接边[V2 V8],过滤掉已经flag的，取出V8，标记V8的flag=true;</p> <p>☐ 获得V8的邻接边[V4 V5],过滤掉已经flag的，取出V5，标记V5的flag=true;</p> <p>☐ 此时发现V5的所有邻接边都已经被flag了，所以需要回溯。（左边黑色虚线，回溯到V1，回溯就是下层递归结束往回返）</p> <p>☐ <img src="https://simg.open-open.com/show/561d3a919992409e5cf11bacb844b671.png"></p> <p>☐ 回溯到V1，在前面取出的是V2，现在取出V3，标记V3的flag=true;</p> <p>☐ 获得V3的邻接边[V1 V6 V7]，过滤掉已经flag的,取出V6，标记V6的flag=true;</p> <p>☐ 获得V6的邻接边[V3 V7],过滤掉已经flag的,取出V7，标记V7的flag=true;</p> <p>☐ 此时发现V7的所有邻接边都已经被flag了，所以需要回溯。（右边黑色虚线，回溯到V1，回溯就是下层递归结束往回返）</p> <h3>深度优先搜索的代码</h3> <pre> <code class="language-java">bool visited[MaxVnum]; void DFS(Graph G,int v) { visited[v]= true; //从V开始访问，flag它 printf("%d",v); //打印出V for(int j=0;j<G.vexnum;j++) if(G.arcs[v][j]==1&&visited[j]== false) //这里可以获得V未访问过的邻接点 DFS(G,j); //递归调用，如果所有节点都被访问过，就回溯，而不再调用这里的DFS } void DFSTraverse(Graph G) { for (int v = 0; v < G.vexnum; v++) visited[v] = false; //刚开始都没有被访问过 for (int v = 0; v < G.vexnum; ++v) if (visited[v] == false) //从没有访问过的第一个元素来遍历图 DFS(G, v); } </code></pre> <h2>3.广度优先搜索算法</h2> <h3>分析广度优先遍历</h3> <p>所谓广度，就是 <strong> 一层一层的，向下遍历，层层堵截 </strong> ，还是这幅图，我们如果要是广度优先遍历的话，我们的结果是V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8。</p> <p><img alt="算法：深度优先算法和广度优先算法" src="https://simg.open-open.com/show/307cc4e9bc83060f557bacd412fcb7df.png"></p> <p>广度优先搜索的思想：</p> <p>① 访问顶点vi ；</p> <p>② 访问vi 的所有未被访问的邻接点w1 ,w2 , …wk ；</p> <p>③ 依次从这些邻接点（在步骤②中访问的顶点）出发，访问它们的所有未被访问的邻接点; 依此类推，直到图中所有访问过的顶点的邻接点都被访问；</p> <p>说明：</p> <p>为实现③，需要保存在步骤②中访问的顶点，而且访问这些顶点的邻接点的顺序为：先保存的顶点，其邻接点先被访问。 这里我们就想到了用标准模板库中的queue队列来实现这种先进现出的服务。</p> <p>老规矩我们还是走一边流程：</p> <p>说明：</p> <p>☐将V1加入队列，取出V1，并标记为true(即已经访问)，将其邻接点加进入队列，则 <—[V2 V3]</p> <p>☐取出V2，并标记为true(即已经访问)，将其未访问过的邻接点加进入队列，则 <—[V3 V4 V5]</p> <p>☐取出V3，并标记为true(即已经访问)，将其未访问过的邻接点加进入队列，则 <—[V4 V5 V6 V7]</p> <p>☐取出V4，并标记为true(即已经访问)，将其未访问过的邻接点加进入队列，则 <—[V5 V6 V7 V8]</p> <p>☐取出V5，并标记为true(即已经访问)，因为其邻接点已经加入队列，则 <—[V6 V7 V8]</p> <p>☐取出V6，并标记为true(即已经访问)，将其未访问过的邻接点加进入队列，则 <—[V7 V8]</p> <p>☐取出V7，并标记为true(即已经访问)，将其未访问过的邻接点加进入队列，则 <—[V8]</p> <p>☐取出V8，并标记为true(即已经访问)，将其未访问过的邻接点加进入队列，则 <—[]</p> <h3>广度优先搜索的代码</h3> <pre> <code class="language-java">#include <queue> using namespace std; .... void BFSTraverse(Graph G) { for (int v=0;v<G.vexnum;v++) //先将其所有顶点都设为未访问状态 visited[v]=false; queue<int> Q; for(int v=0;v<G.vexnum;v++) { if(visited[v]==false) //若该点没有访问 { Q.push(v); //将其加入到队列中 visited[v]=true; while (!Q.empty()) //只要队列不空，遍历就没有结束 { int t =Q.front(); //取出对头元素 Q.pop(); printf(" %d ",t+1); for(int j=0;j<G.vexnum;j++) //将其未访问过的邻接点加进入队列 if(G.arcs[t][j]==1&&visited[j]== false) { Q.push(j); visited[j]=true; //在这里要设置true，因为这里该顶点我们已经加入到了队列，为了防止重复加入！ } } } } } </code></pre> <h2>两种算法的复杂度分析</h2> <p>深度优先</p> <p>数组表示：查找所有顶点的所有邻接点所需时间为O(n <sup>2</sup> )，n为顶点数，算法时间复杂度为O(n <sup>2</sup> )</p> <p>广度优先</p> <p>数组表示：查找每个顶点的邻接点所需时间为O(n <sup>2</sup> )，n为顶点数，算法的时间复杂度为O(n <sup>2</sup> )</p> <p> </p> <p>来自：http://www.cnblogs.com/MrSaver/p/6241721.html</p> <p> </p>