机器学习实战ByMatlab（3）：K-means算法
原文出处： Liu_LongPo的专栏（@Liu_LongPo）
K-means算法属于无监督学习聚类算法，其计算步骤还是挺简单的，思想也挺容易理解，而且还可以在思想中体会到EM算法的思想。
K-means 算法的优缺点：
1.优点：容易实现
2.缺点：可能收敛到局部最小值，在大规模数据集上收敛较慢
使用数据类型：数值型数据
以往的回归算法、朴素贝叶斯、SVM等都是有类别标签y的，因此属于有监督学习，而K-means聚类算法只有x，没有y
在聚类问题中，我们的训练样本是
其中每个Xi都是n维实数。
样本数据中没有了y，K-means算法是将样本聚类成k个簇，具体算法如下：
1、随机选取K个聚类质心点，记为
2、重复以下过程直到收敛
{
对每个样例 i ，计算其应该属于的类：
对每个类 j ，重新计算质心：
}
其中K是我们事先给定的聚类数目，Ci 表示样本 i 与K个聚类中最近的那个类，Ci的值是1到K中的一个，质心uj代表我们对属于同一个类的样本中心的猜测。解释起来就是，
第一步：天空上的我们随机抽取K个星星作为星团的质心，然后对于每一个星星 i，我们计算它到每一个质心uj的距离，选取其中距离最短的星团作为Ci，这样第一步每个星星都有了自己所属于的星团；
第二步：对每个星团Ci，我们重新计算它的质心uj（计算方法为对属于该星团的所有点的坐标求平均）不断重复第一步和第二步直到质心变化很小或者是不变。
然后问题来了，怎么样才算质心变化很小或者是不变？或者说怎么判定？答案就是畸变函数（distortion function），定义如下：
J函数表示每个样本点到其质心的距离平方和，K-means的收敛就是要将 J 调整到最小，假设当前 J 值没有达到最小值，那么可以先固定每个类的质心 uj ，调整每个样例的类别 Ci 来时 J 函数减少。同样，固定 Ci ，调整每个类的质心 uj也可以是 J 减少。这两个过程就是内循环中使 J 单调变小的过程。当 J 减小到最小的时候， u 和 c 也同时收敛。（该过程跟EM算法其实还是挺像的）理论上可能出现多组 u 和 c 使 J 取得最小值，但这种情况实际上很少见。
由于畸变函数 J 是非凸函数，所以我们不能保证取得的最小值一定是全局最小值，这说明k-means算法质心的初始位置的选取会影响到最后最小值的获取。不过一般情况下，k-means算法达到的局部最优已经满足要求。如果不幸代码陷入局部最优，我们可以选取不同的初始值跑多几遍 k-means 算法，然后选取其中最小的 J 对应的 u 和 c 输出。
另一种收敛判断：
实际我们编写代码的时候，还可以通过判断“每个点被分配的质心是否改变”这个条件来判断聚类是否已经收敛
而上面所说的畸变函数则可以用来评估收敛的效果，具体将会在下面的实例中体现。
Matlab 实现
function kMeans clc clear K = 4; dataSet = load('testSet.txt'); [row,col] = size(dataSet); % 存储质心矩阵 centSet = zeros(K,col); % 随机初始化质心 for i= 1:col minV = min(dataSet(:,i)); rangV = max(dataSet(:,i)) - minV; centSet(:,i) = repmat(minV,[K,1]) + rangV*rand(K,1); end % 用于存储每个点被分配的cluster以及到质心的距离 clusterAssment = zeros(row,2); clusterChange = true; while clusterChange clusterChange = false; % 计算每个点应该被分配的cluster for i = 1:row % 这部分可能可以优化 minDist = 10000; minIndex = 0; for j = 1:K distCal = distEclud(dataSet(i,:) , centSet(j,:)); if (distCal < minDist) minDist = distCal; minIndex = j; end end if minIndex ~= clusterAssment(i,1) clusterChange = true; end clusterAssment(i,1) = minIndex; clusterAssment(i,2) = minDist; end % 更新每个cluster 的质心 for j = 1:K simpleCluster = find(clusterAssment(:,1) == j); centSet(j,:) = mean(dataSet(simpleCluster',:)); end end figure %scatter(dataSet(:,1),dataSet(:,2),5) for i = 1:K pointCluster = find(clusterAssment(:,1) == i); scatter(dataSet(pointCluster,1),dataSet(pointCluster,2),5) hold on end %hold on scatter(centSet(:,1),centSet(:,2),300,'+') hold off end % 计算欧式距离 function dist = distEclud(vecA,vecB) dist = sqrt(sum(power((vecA-vecB),2))); end 效果如下：
这是正常分类的情况，很明显被分为了4个类，不同颜色代表不同的类，cluster的质心为 “ + ”
当然，这只是其中一种情况，很有可能我们会出现下面这种情况：
这就是上面所说的，K-means的缺点之一，随机初始点的选择可能会让算法陷入局部最优解，这时候我们只需重新运行一次程序即可。
至于每一个看似都可以正常聚类的情况呢，我们则利用上面所说的“畸变函数”来衡量聚类的效果，当然是J越小聚类效果越好。
实际使用的时候，我们只需多次运行程序，选取J最小的聚类效果。