python做的lambda 演算示例
所有关于函数式编程的介绍中都指明 lambda演算是函数式编程的数学基础。死了不少脑细胞研究了一下维基百科上关于lambda演算的介绍文章。
参考:http://en.wikipedia.org/wiki/Lambda_calculus
普通的数学运算用这个纯抽象的符号演算来定义,计算结果只能在脑子里存在。所以写了点代码,来验证文章中介绍的演算规则。
我们来验证文章里介绍的自然数及自然数运算规则。说到自然数,今天还百度了一下,据度娘说,1993年后国家规定0是属于自然数。先定义自然数及自然数的运算规则:
用lambda表达式定义自然数(邱齐数)
0 := λf.λx.x 1 := λf.λx.f x 2 := λf.λx.f (f x) 3 := λf.λx.f (f (f x)) ...
上面定义直观的意思就是数字n, 是f(x)的n阶函数。1就是f(x), 2就是f(f(x))....,严格来说,这样表述并不准确。其实每个邱奇数都是一个二阶函数,它有两个变量f和x。用二元命名函数来表达就是:
0 -> num0(f,x)=x 1 -> num1(f, x)=f(x) 2 -> num2(f,x)=f(f(x)) 3 -> num3(f,x)=f(f(f(x))) ...
其中参数f是一个函数。这一段有点绕,但是不能理解这个,对后面的lambda演算理解会比较困难。
首先用递归法,定义邱齐数(自然数)
0是自然数, 度娘说1993年后,国家规定0是属于自然数。
每个自然数,都有一个后续。
用代码表达就是:
NUM0=lambda f: lambda x:x SUCC=lambda n: lambda f: lambda x: f(n(f)(x))
后面则是定义运算符,包括加法,乘法,减法和幂。维基文章里没有介绍除法,估摸着除法定义比较复杂,一时讲不清楚。那我们也不验证了。
################################################ #define number calculus rules ################################################ #define Church numeral inductively. #0 := λf.λx.x #1 := λf.λx.f x #2 := λf.λx.f (f x) #3 := λf.λx.f (f (f x)) #... NUM0=lambda f: lambda x:x SUCC=lambda n: lambda f: lambda x: f(n(f)(x)) #define Operator PLUS=lambda m: lambda n: m(SUCC)(n) MULT= lambda m: lambda n: m(PLUS(n))(NUM0) #define predecessor to obtain the previous number. PRED= lambda n: lambda f: lambda x: n(lambda g: lambda h: h(g(f)))(lambda u:x)(lambda u:u) SUB=lambda m: lambda n: n(PRED)(m) POW=lambda b: lambda e: e(b)
定义完了什么是自然数和自然数的运算子。那么自然数的运算,就可以用lambda演算的方式计算了。
问题是上面的定义都是抽象的符号演算,我们需要有一个编码器来把上面的抽象的Church numeral符号编码成可以人来阅读的形式,还需把人输入的数字解码成抽象符号。
################################################ #create encoder to input/output Church numeral ################################################ class LambdaEncoding: @staticmethod def encoding(exp,encoder): return encoder().encoding(exp) @staticmethod def decoding(s, decoder): return decoder().decoding(s) class NumEncoder: def encoding(self,num): f=lambda x:x+1 return str(num(f)(0)) def decoding(self,s): n=int(s) num=NUM0 for i in range(n): num=SUCC(num) return num
嗯,有了编码器,就可以方便的来验证了。
################################################ #calculus demo ################################################ print("demo number calculus.\n" "don't input large number," "it will cause to exceed maximum recursion depth!\n") n1=input('input a number: ') n2=input('input anohter number: ') #decode string to Church numeral num1=LambdaEncoding.decoding(n1,NumEncoder) num2=LambdaEncoding.decoding(n2,NumEncoder) #add result=PLUS(num1)(num2) print('{0} + {1} = {2}'.format( n1, n2, LambdaEncoding.encoding(result, NumEncoder))) #mult result=MULT(num1)(num2) print('{0} X {1} = {2}'.format( n1, n2, LambdaEncoding.encoding(result, NumEncoder))) #sub result=SUB(num1)(num2) print('{0} - {1} = {2}'.format( n1, n2, LambdaEncoding.encoding(result, NumEncoder))) #POW result=POW(num1)(num2) print('{0} ^ {1} = {2}'.format( n1, n2, LambdaEncoding.encoding(result, NumEncoder)))
测试结果如下:
>>> demo number calculus. don't input large number,it will cause to exceed maximum recursion depth! input a number: 4 input anohter number: 3 4 + 3 = 7 4 X 3 = 12 4 - 3 = 1 4 ^ 3 = 64 >>>
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