RSA算法原理（二）

        有了这些知识，我们就可以看懂 RSA 算法。这是目前地球上最重要的加密算法。

        六、密钥生成的步骤

        我们通过一个例子，来理解 RSA 算法。假设爱丽丝要与鲍勃进行加密通信，她该怎么生成公钥和私钥呢？

        第一步，随机选择两个不相等的质数p和q。

        爱丽丝选择了 61 和 53。（实际应用中，这两个质数越大，就越难破解。）

        第二步，计算p和q的乘积n。

        爱丽丝就把 61 和 53 相乘。

n = 61×53 = 3233

        n 的长度就是密钥长度。3233 写成二进制是 110010100001，一共有 12 位，所以这个密钥就是 12 位。实际应用中，RSA 密钥一般是 1024 位，重要场合则为 2048 位。

        第三步，计算n的欧拉函数φ(n)。

        根据公式：

φ(n) = (p-1)(q-1)

        爱丽丝算出φ(3233) 等于 60×52，即 3120。

        第四步，随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质。

        爱丽丝就在 1 到 3120 之间，随机选择了 17。（实际应用中，常常选择 65537。）

        第五步，计算e对于φ(n)的模反元素d。

        所谓"模反元素"就是指有一个整数d，可以使得 ed 被φ(n)除的余数为1。

ed ≡ 1 (mod φ(n))

        这个式子等价于

ed - 1 = kφ(n)

        于是，找到模反元素d，实质上就是对下面这个二元一次方程求解。

ex + φ(n) y = 1

        已知 e=17, φ(n)=3120，

17x + 3120y = 1

        这个方程可以用"扩展欧几里得算法"求解，此处省略具体过程。总之，爱丽丝算出一组整数解为 (x，y)=(2753,-15)，即 d=2753。

        至此所有计算完成。

        第六步，将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥。

        在爱丽丝的例子中，n=3233，e=17，d=2753，所以公钥就是 (3233,17)，私钥就是（3233, 2753）。

        实际应用中，公钥和私钥的数据都采用 ASN.1格式表达（实例）。

        七、RSA 算法的可靠性

        回顾上面的密钥生成步骤，一共出现六个数字：

p

q

n

φ(n)

e

d

        这六个数字之中，公钥用到了两个（n和e），其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d，因为n和d组成了私钥，一旦d泄漏，就等于私钥泄漏。

        那么，有无可能在已知n和e的情况下，推导出d？

（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。

（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。

（3）n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q。

        结论：如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。

        可是，大整数的因数分解，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道：

"对极大整数做因数分解的难度决定了 RSA 算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA 算法愈可靠。

假如有人找到一种快速因数分解的算法，那么 RSA 的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的 RSA 密钥才可能被暴力破解。到 2008 年为止，世界上还没有任何可靠的攻击 RSA 算法的方式。

只要密钥长度足够长，用 RSA 加密的信息实际上是不能被解破的。"

        举例来说，你可以对 3233 进行因数分解（61×53），但是你没法对下面这个整数进行因数分解。

12301866845301177551304949

58384962720772853569595334

79219732245215172640050726

36575187452021997864693899

56474942774063845925192557

32630345373154826850791702

61221429134616704292143116

02221240479274737794080665

351419597459856902143413

        它等于这样两个质数的乘积：

33478071698956898786044169

84821269081770479498371376

85689124313889828837938780

02287614711652531743087737

814467999489

×

36746043666799590428244633

79962795263227915816434308

76426760322838157396665112

79233373417143396810270092

798736308917

        事实上，这大概是人类已经分解的最大整数（232 个十进制位，768 个二进制位）。比它更大的因素分解，还没有被报道过，因此目前被破解的最长 RSA 密钥就是 768 位。

        八、加密和解密

        有了公钥和密钥，就能进行加密和解密了。

        （1）加密要用公钥 (n,e)

        假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息m，他就要用爱丽丝的公钥 (n,e) 对m进行加密。这里需要注意，m必须是整数（字符串可以取 ascii 值或 unicode 值），且m必须小于n。

        所谓"加密"，就是算出下式的c：

m^e ≡ c (mod n)

        爱丽丝的公钥是 (3233, 17)，鲍勃的m假设是 65，那么可以算出下面的等式：

65¹⁷ ≡ 2790 (mod 3233)

        于是，c等于 2790，鲍勃就把 2790 发给了爱丽丝。

        （2）解密要用私钥(n,d)

        爱丽丝拿到鲍勃发来的 2790 以后，就用自己的私钥(3233, 2753) 进行解密。可以证明，下面的等式一定成立：

c^d ≡ m (mod n)

        也就是说，c的d次方除以n的余数为m。现在，c等于 2790，私钥是(3233, 2753)，那么，爱丽丝算出

2790²⁷⁵³ ≡ 65 (mod 3233)

        因此，爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是 65。

        至此，"加密--解密"的整个过程全部完成。

        我们可以看到，如果不知道d，就没有办法从c求出m。而前面已经说过，要知道d就必须分解n，这是极难做到的，所以 RSA 算法保证了通信安全。

        你可能会问，公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m，那么如果要加密大于n的整数，该怎么办？有两种解决方法：一种是把长信息分割成若干段短消息，每段分别加密；另一种是先选择一种"对称性加密算法"（比如 DES），用这种算法的密钥加密信息，再用 RSA 公钥加密 DES 密钥。

        九、私钥解密的证明

        最后，我们来证明，为什么用私钥解密，一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子：

c^d ≡ m (mod n)

        因为，根据加密规则

ｍ^e ≡ c (mod n)

        于是，c可以写成下面的形式：

c = m^e - kn

        将c代入要我们要证明的那个解密规则：

(m^e - kn)^d ≡ m (mod n)

        它等同于求证

m^ed ≡ m (mod n)

        由于

ed ≡ 1 (mod φ(n))

        所以

ed = hφ(n) +1

        将 ed 代入：

m^{hφ(n) +1} ≡ m (mod n)

        接下来，分成两种情况证明上面这个式子。

        （1）m与n互质。

        根据欧拉定理，

m^φ(n) ≡ 1 (mod n)

        得到

(m^φ(n))^h × m ≡ m (mod n)

        原式得到证明。

        （2）m与n不是互质关系。

        由于n等于质数p和q的乘积，所以m必然等于 kp 或 kq。

        以 m = kp 为例，考虑到这时k与q必然互质，则根据欧拉定理，下面的式子成立：

(kp)^q-1 ≡ 1 (mod q)

        进一步得到

[(kp)^q-1]^h(q-1) × kp ≡ kp (mod q)

        即

(kp)^ed ≡ kp (mod q)

        将它改写成下面的等式

(kp)^ed = tq + kp

        这时t必然能被p整除，即 t=t'p

(kp)^ed = t'pq + kp

        因为 m=kp，n=pq，所以

m^ed ≡ m (mod n)

        原式得到证明。