王垠：数学和编程

文/王垠

好些人来信问我，要成为一个好的程序员，数学基础要达到什么样的程度？十八年前，当我成为大学计算机系新生的时候，也为同样的问题所困扰。面对 学数学，物理等学科的同学，我感到自卑。经常有人说那些专业的知识更加精华一些，难度更高一些，那些专业的人毕业之后如果做编程工作，水平其实比计算机系 毕业的还要高。直到几年前深入研究程序语言之后，对这个问题我才得到了答案和解脱。由于好多编程新手遇到同样的困扰，所以我想在这里把这个问题详细的阐述 一下。

数学并不是计算机科学的基础

很多人都错误的认为，计算机科学是数学的一个分支，数学是计算机科学的基础，数学是更加博大精深的科学。这些人以为只要学会了数学，编程的事情全都不在话下，然而事实却并非如此。

事实其实是这样的：

• 计算机科学其实根本不是数学，它只不过借用了非常少，非常基础的数学，比高中数学还要容易一点。所谓“高等数学”，在计算机科学里面基本用不上。
• 计算机是比数学更加基础的工具，就像纸和笔一样。计算机可以用来解决数学的问题，也可以用来解决不是数学的问题，比如工程的问题，艺术的问题，经济的问题，社会的问题等等。
• 计算机科学是完全独立的学科。学习了数学和物理，并不能代替对计算机科学的学习。你必须针对计算机科学进行学习，才有可能成为好的程序员。
• 数学家所用的语言，比起常见的程序语言（比如C++，Java）来说，其实是非常落后而糟糕的设计。所谓“数学的美感”，其实大部分是夜郎自大。
• 99% 的数学家都写不出像样的代码。

数学是异常糟糕的语言

这并不是危言耸听。如果你深入研究过程序语言的理论，就会发现其实数学家们使用的那些符号，只不过是一种非常糟糕的程序语言。数学的理论有些是 有用的，然而数学家门用于描述这些理论所用的语言，却是纷繁复杂，缺乏一致性，可组合性（composability），简单性，可用性。这也就是为什么 大部分人看到数学就头痛。这不是他们不够聪明，而是数学语言的“设计”有问题。人们学习数学的时候，其实只有少部分时间在思考它的精髓，而大部分时间是在折腾它的语法。

举一个非常简单的例子。如果你说x^-1表示x的-1 次方（x的倒数），那么f^-1表示什么？f的-1 次方，f的倒数？别被数学老师们的教条和借口欺骗啦，他们总是告诉你：“你应该记住这些！” 可是你想过吗：“凭什么！” x^-1表示x的-1 次方，而f^-1，明明是一模一样的形式，表示的却是函数f的反函数。一个是求幂，一个是反函数，风马不及，却写成一个样子。这样的语言设计混淆不堪，却喜欢以“约定俗成”作为借口。

如果你再多看一些数学书，就会发现这只是数学语言几百年累积下来的糟粕的冰山一角。数学书里尽是各种上标下标，带括号的上标下 标，x，y，z，a，b，c，f，g，h，各种扭来扭去的希腊字母，希伯来字母…… 斜体，黑体，花体，双影体，……用不同的字体来表示不同的“类型”。很多符号的含义，在不同的子领域里面都不一样。有些人上一门数学课，到最后还没明白那 些符号是什么意思。

很多人学习微积分都觉得困难，其实问题不在他们，而在于莱布尼兹（Leibniz）。莱布尼兹设计来描述微积分的语言（∫，dx， dy， ...），从现代语言设计的角度来看，其实非常之糟糕，可以说是一塌糊涂。我不能怪莱布尼兹，他毕竟是几百年前的人了，他不知道我们现在知道的很多东西。 然而古人的设计，现在还不考虑改进，反而当成教条灌输给学生，那就是不思进取了。

数学的语言不像程序语言，它的历史太久，没有经过系统的，考虑周全的，统一的设计。各种数学符号的出现，往往是历史上某个数学家有天在黑板上随 手画出一些古怪的符号，说这代表什么，那代表什么，…… 然后就定下来了。很多数学家只关心自己那块狭窄的子领域，为自己的理论随便设计出一套符号，完全不管这些是否跟其它子领域的符号相冲突。这就是为什么不同 的数学子领域里写出同样的符号，却可以表示完全不同的涵义。在这种意义上，数学的语言跟 Perl（一种非常糟糕的程序语言）有些类似。Perl 把各种人需要的各种功能，不加选择地加进了语言里面，造成语言繁复不堪，甚至连 Perl 的创造者自己都不能理解它所有的功能。

数学的证明，使用的其实也是极其不严格的语言——古怪的符号，加上含糊不清，容易误解的人类语言。如果你知道什么是 Curry-Howard Correspondence 就会明白，其实每一个数学证明都不过是一段代码。同样的定理，可以有许多不同版本的证明（代码）。这些证明有的简短优雅，有的却冗长繁复，像面条一样绕来 绕去，没法看懂。你经常在数学证明里面看到“未定义的变量”，证明的逻辑也包含着各种隐含知识，思维跳跃，非常难以理解。很多数学证明，从程序的观点来 看，连编译都不会通过，就别提运行了。

数学家们往往不在乎证明的优雅性。他们认为只要能证明出定理，你管我的证明简不简单，容不容易看懂呢。你越是看不懂，就越是觉得我高深莫测！这 种思潮到了编程的时候就显出弊端了。数学家写代码，往往忽视代码的优雅性，简单性，模块化，可读性，性能，数据结构等重要因素，认为代码只要能算出结果就 行。他们把代码当成跟证明一样，一次性的东西，所以他们的代码往往不能满足实际工程的严格要求。

编程是一门艺术

从上面你也许已经明白了，普通程序员使用的编程语言，就算是 C++ 这样毛病众多的语言，其实也已经比数学家使用的语言高明很多。计算机科学并不是数学的一个分支，它在很大程度上是优于数学，高于数学的。有些数学的基本理 论可以被计算机科学所用，然而计算机科学并不是数学的一部分。数学在语言方面带有太多的历史遗留糟粕，它其实是泥菩萨过河，自身难保，它根本解决不了编程 中遇到的实际问题。

编程真的是一门艺术，因为它符合艺术的各种特征。艺术可以利用科学提供的工具，然而它却不是科学的一部分，它的地位也并不低于科学。和所有的艺 术一样，编程能解决科学没法解决的问题，满足人们新的需求，开拓新的世界。所以亲爱的程序员们，别再为自己不懂很多数学而烦恼了。数学并不能帮助你写出好 的程序，然而能写出好程序的人，却能更好的理解数学。我建议你们先学编程，再去看数学。