如何用方程式写春联

文/ Simbol 1

如何在春节坐在电脑前也很有过年气氛？尤其是面对着家里还是 Windows XP 的桌电。我翻到了一篇文章，介绍 GrafEq 这套付费但可无限试用且只支持到 Windows XP 和 OS 9.2 的古董级数学绘图软件。

我们这就拿它来做一点实验。

首先打入 x^2+y^2<25。会看到一个半径为 5 的圆

若想要这个圆方一点，可以打 x^6+y^6<25，不过这就太方了

x^4+y^4<25 倒是刚刚好

现在我想在它身上挖个洞，于是想到要在不等式左边减掉一个在原点值很大、但是出原点就迅速变小的函数。

例如 1/(x^4+y^4) 就是这样的函数，它在 x， y 很小的时候有很小的分母、所以函数值很大，但是 x， y 变大之后四次方会让分母变大得很快，所以函数值就变得微不足道地小。

现在 x^4+y^4+1/(x^4+y^4)<25 的图案长这样。

能不能让洞大一些呢？当然可以，把分子的 1 改成 100 就好

x^4+y^4+100/(x^4+y^4)<25 的图案长这样

能不能让洞只出现在上半部呢？当然也可以，将分母的 y 用 2y-2 取代

现在的式子是：x^4+y^4+100/(x^4+ (2y-2)^4)<25

不过看起来有点勉强啊，毕竟 100/(x^4+ (2y-2)^4) 在左上角和右上角的地方降得不够快，和正在变大的 x^4+y^4 相加之后，函数值比 25 小的地方显得有点细（快不见得右上角和左上角）。我们可以从下面这张图看到在该函数在 x=y 这条线上的行为，因为我们要看沿着斜 45 度角这条线上的笔画粗细。

我们现在考虑的是 f (x，y)= x^4+y^4+100/(x^4+ (2y-2)^4) 这个函数，要把它画出来需要三维空间，这里却只有两维，不得已只好取函数在 x=y 这条线上面的样子，于是上图的纵坐标代表 f(x，y)= x^4+y^4+100/(x^4+ (2y-2)^4) 函数的值，横坐标则是 x=y 这条线，往左是原图的左下角往右是原图的右上角，至于浅浅那条横线代表不等号右边的 25，于是在该线下方的函数值对应到被涂黑的部分，该线上方的函数值对应到留白的部分。

当然，缩放过了，你知道如何用 GrafEq 画出这张图吗？

我的答案是

(-5y+2(x/4)^4+100/((x/4)^4+ (2(x/4)-2)^4))(-5y+25)=0

为了让那个地方粗一些，我们决定在分母动手脚，让它在左上角和右上角不要增加太快，方法是让 y=1 附近的分母变大，例如把分母 x^4+ (2y-2)^4 再加上 (2y-1)^2，这会让 x=y 上的行为变成

(-5y+2(x/4)^4+100/((x/4)^4+ (2(x/4)-2)^4+ (2(x/4)-1)^2))(-5y+25)=0

而 x^4+y^4+100/(x^4+ (2y-2)^4+ (2y-1)^2)<25 则变成

可爱多了，忍不住想再戳第二个洞

x^4+y^4+100/(x^4+ (2y-2)^4+ (2y-1)^2) +100/(x^4+ (2y+2)^4+ (2y+1)^2)<25

一个「日字」就完成了

可以再画其他笔画吗？没有问题，只要调整 x， y 前面的系数与常数，我们可以在任何位置画上任意长度
例如 -1/((y+3)^4+ (x/15)^4)-1/((y+4)^4+ (x/15)^4)-1/((y+5)^4+ (x/15)^4)<-100

（知道这三条分别对应到哪一项吗？）

将上式的左边放到还没挖洞的函数里
x^4+y^4-1/((y+3)^4+ (x/15)^4)-1/((y+4)^4+ (x/15)^4)-1/((y+5)^4+ (x/15)^4)<25
会发现这三条的粗细和长度都变了，离原点越远也就是越下面的笔画就会越细。这是因为离原点越远的话x^4+y^4 就越大，所以扣掉 XX 分之一之后就越容易超出 25（不等式右式给的边界），笔画就缩水了。

话又说回来，这像不像旭日东升呢？

还是说象形字看起来比较有感觉？

x^4+y^4+100/(x^4+ (2y-2)^4+ (2y-1)^2) +100/(x^4+ (2y+2)^4+ (2y+1)^2)-1/((y+3)^4+ (x/15)^4)-1/((y+4)^4+ (x/15)^4)-1/((y+5)^4+ (x/15)^4)<25

抑或是 x=0 的截面比较有启发性？

(-50x+y^4+100/((2y-2)^4+ (2y-1)^2) +100/((2y+2)^4+

(2y+1)^2)-1/((y+3)^4)-1/((y+4)^4)-1/((y+5)^4))(-50x+25)=0

下一题：要怎么画出斜的笔画？毕竟调常数只会平移图形，调整系数顶多让矮胖的变瘦高的，那要怎么调整「角度」呢？

这就要用到所谓「线性变换」的概念了，例如将

         -1/(4(x+4)^4+ ((y+1)/5)^4)<-100

套用变换「 x ⟼ x+y 、 y ⟼ x-y 」会得到

-1/(4(x+y+4)^4+ ((x-y+1)/5)^4)<-100

那么再下一个问题：要怎么画出弯的笔画？

这可是再多线性变换都做不到的事，穷途末路的我们回想起圆弧是弯的 (x-19)^2+ (y+12)^2=400 ，所以我们只要设定「到圆弧的距离够小」，或者说「到圆心的距离界在某两个数中间」就好了吧！((x-19)^2+ (y+12)^2-400)^2<100

不过等等，这笔一画下去可就是整个圆了，能不能只取其中一段呢？

我想只靠一个圆大概不够，那你有没有试第二个？

((x-4)^2+ (y+5)^2-13)((x-19)^2+ (y+12)^2-400)=0

也许设定「到两个圆的距离都够小」会有意外收获

((x-4)^2+ (y+5)^2-13)^2+ ((x-19)^2+ (y+12)^2-400)^2<100

唉呀，为了把这笔画整合到本来的图形里，我们需要把「够靠近零」的部分放到分母，变成一个「够大」的条件

-100/(((x-4)^2+ (y+5)^2-13)^2+ ((x-19)^2+ (y+12)^2-400)^2)<-1

（需要看看它的样子吗？我猜是不用。）

不过它其实还是有点脆弱，根据努力尝试的结果，我建议狠下心来将分子分母同时平方四次，这样该大的才会大 ，该小的才会小。

-100^16/(((x-4)^2+ (y+5)^2-13)^2+ ((x-19)^2+ (y+12)^2-400)^2)^16<-100

（这个图形和前一个一样吗？）（如果不，那它为什么和前一个那么像？）

最后将所有这些东西通通加在一起

x^4+y^4+100/(x^4+ (2y-2)^4+ (2y-1)^2) +100/(x^4+ (2y+2)^4+ (2y+1)^2)-1/((y+3)^4+ (x/15)^4)-1/((y+4)^4+ (x/15)^4)-1/((y+5)^4+ (x/15)^4)-1/(4(x+y+4)^4+ ((x-y+1)/5)^4)-100^16/(((x-4)^2+ (y+5)^2-13)^2+ ((x-19)^2+ (y+12)^2-400)^2)^16<25

就得到了：

至于红色的春联纸怎么画呢？我希望字出现在正中间，所以应该要有些平移，我希望它够尖，所以指数部分应该够大，我希望它是 45 度的，所以需要线性变换，就决定是你了   (x+y+2)^100+ (x-y-2)^100<7^100

这就是结果啦

最后，就来道规规矩矩的练习题让大家试试吧：

祝福各位新年快乐！

编按：如果以上这串你有看没有懂没关系，为了犒赏你能够阅读这篇文章到底，把以下式子贴入 google 搜索，会有意想不到的惊喜哦！

x^4+y^4+100/(x^4+ (2y-2)^4+ (2y-1)^2) +100/(x^4+ (2y+2)^4+ (2y+1)^2)-1/((y+3)^4+ (x/15)^4)-1/((y+4)^4+ (x/15)^4)-1/((y+5)^4+ (x/15)^4)-1/(4(x+y+4)^4+ ((x-y+1)/5)^4)-100^16/(((x-4)^2+ (y+5)^2-13)^2+ ((x-19)^2+ (y+12)^2-400)^2)^16-25